Church, Alonzo (1903–1995)

Alonzo Church, ein amerikanischer Logiker und Philosoph, wurde in Washington, DC, geboren. Er promovierte 1927 in Princeton, nachdem er seine Dissertation unter Oswald Veblen über Alternativen zum Axiom der Wahl verfasst hatte. Er verbrachte ein Jahr in Harvard und dann ein Jahr in Europa und studierte zuerst in Göttingen und dann in Amsterdam bei LEJ Brouwer. Er kehrte nach Princeton zurück, wo er von 1929 bis 1967 Professor für Mathematik war. Danach wechselte er an die UCLA, um Professor für Mathematik und Philosophie zu werden. Er zog sich 1990 von der Lehre an der UCLA zurück. Die wichtigsten Beiträge der Kirche zur Logik waren seine Analyse des Konzepts der effektiven Berechenbarkeit und sein Beweis für die Unentscheidbarkeit der Logik erster Ordnung (Theorem der Kirche).

Eine Funktion der natürlichen Zahl ist effektiv berechenbar, wenn es einen Algorithmus gibt - eine todsichere Methode, bei der kein Einfallsreichtum erforderlich ist -, der den Wert der Funktion für eine bestimmte natürliche Zahl als Eingabe liefert. Church entwickelte ein formales System, den Lambda-Kalkül (der später zu einem wichtigen Werkzeug in der Informatik wurde), und schlug vor, eine Funktion natürlicher Zahlen als berechenbar zu betrachten, wenn dies der Fall ist Lambda definierbar - Definierbar über eine Formel im Kalkül. Die Analyse hat anfangs wenig zu empfehlen, aber die Erfahrung mit intuitiv berechenbaren Funktionen führte dazu, dass Church vermutete, dass jede dieser Funktionen lambda-definierbar ist - eine Vermutung, die heute als bekannt ist Die These der Kirche. Alan Turing gab eine überzeugendere Analyse der Berechenbarkeit in Bezug auf abstrakte Rechenmaschinen (Turing-Maschinen) und es wurde anschließend gezeigt, dass die Definierbarkeit von Lambda diesem Begriff von äquivalent ist Berechenbarkeit. Es wurden verschiedene andere Analysen vorgeschlagen, und alle haben sich als gleichwertig mit der Definition der Kirche erwiesen. Dies wird von Logikern oft als Beweis für die Richtigkeit der Vermutung angesehen. Die These der Kirche wird mittlerweile fast allgemein akzeptiert.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass eine Eigenschaft eines Ausdrucks (effektiv) entscheidbar ist, wenn es einen Algorithmus gibt, mit dem entschieden werden kann, ob ein bestimmter Ausdruck die Eigenschaft hat oder nicht. Dieser Begriff kann mit einer bestimmten Art effektiver Berechenbarkeit identifiziert werden, indem angenommen wird, dass allen Ausdrücken Nummern zugewiesen wurden (auf eine effektiv bestimmte Weise), und dann gesagt wird, dass eine Eigenschaft eines Ausdrucks ist effektiv entscheidbar wenn es einen Algorithmus gibt, der 0 ergibt (nicht ) bei Anwendung auf die Zahl für den Ausdruck, wenn der Ausdruck nicht die Eigenschaft hat und 1 ergibt (ja ) wenn der Ausdruck die Eigenschaft hat. Wenn man dann die Existenz eines solchen Algorithmus mit der Lambda-Definierbarkeit (oder Turing-Berechenbarkeit) dieser Funktion identifiziert, wie es die These der Kirche (oder der Church-Turing) vorschlägt, hat man eine genaue Definition der effektiven Entscheidbarkeit. Der Satz der Kirche zeigt, dass die Eigenschaft, eine gültige Formel der Prädikatenlogik erster Ordnung zu sein, in diesem Sinne nicht entscheidbar ist. Anders als bei der Aussagenrechnung, für die Wahrheitstabellen ein wirksames Verfahren zur Entscheidung über die Tautologität ergeben, kann die Gültigkeit einer Formel erster Ordnung weder durch ein einheitliches algorithmisches Verfahren noch durch Ja oder Nein entschieden werden.

Die wichtigsten philosophischen Beiträge der Kirche betreffen die Kontroverse zwischen Realismus und Nominalismus in der Philosophie der Mathematik und Logik sowie Probleme und Theorien über die Bedeutung. Er war ein Realist oder Platonist über abstrakte Entitäten und lieferte schlagkräftige Argumente gegen verschiedene Versuche, solche Entitäten zu erklären.

Rudolf Carnap und andere, die mit dem logischen Positivismus in Verbindung gebracht wurden, zeigten eine allgemeine Feindseligkeit gegenüber solchen Abstraktionen wie Zahlen, Funktionen, Eigenschaften und Sätzen. Carnap versuchte, Sätze zu analysieren, indem er angeblich jemandem den Glauben an einen Satz in Form von Sätzen und einer Beziehung des "Intensionsisomorphismus" zwischen Sätzen zuschrieb. In etwa gilt die Beziehung, wenn die fraglichen Sätze aus notwendigerweise äquivalenten Teilen bestehen, die in derselben Reihenfolge angeordnet sind. Church beanstandete, dass ein Satz, der jemandem einen Glauben zuschreibt, keinen Satz einer bestimmten Sprache erwähnt. Er fährt fort, eine detaillierte und überzeugende Widerlegung des spezifischen Vorschlags von Carnap zu geben. Die verwendete Methode, die jetzt als "Übersetzungsargument" bezeichnet wird, scheint von allgemeiner Anwendbarkeit zu sein und macht es unplausibel, dass eine Ersetzung von Sätzen durch konkretere Dinge wie Sätze erfolgreich sein wird. Die Kirche erhob auch starke Einwände gegen nominalistische Manöver von AJ Ayer und Israel Scheffler. Probleme mit dem Begriff der Synonymie wurden von Nelson Goodman und Benson Mates aufgeworfen. Die Kirche antwortete darauf entschlossen.

Die Arbeit der Kirche an der Logik von Sinn und Bezeichnung, eine formale Intensionslogik, die einige von Gottlob Freges Vorstellungen von Bedeutung beinhaltet, war eines seiner wichtigsten Projekte für die Philosophie, aber sie bleibt unvollendet. Die grundlegende neue Idee ist die "Delta-Beziehung" - die Beziehung, die zwischen dem Sinn eines Ausdrucks und der Bezeichnung dieses Ausdrucks in einer möglichen (NB) Sprache besteht. Dies wird als logische Beziehung angesehen und es wird gesagt, dass der Sinn a ist Begriffs die Bezeichnung. Es wird postuliert, dass ein Konzept (der Sinn eines Ausdrucks in einer möglichen Sprache) ein Konzept von höchstens einer Sache ist. Und wenn F ist ein Konzept einer Funktion f und X ist ein Konzept eines Objekts x, dann F [X] ist ein Konzept von f (x). Die Kirche geht davon aus, dass man Funktionsbegriffe als bestimmte Funktionen auf Begriffen auslegen kann, so dass F [X], plausibel als eine bestimmte komplexe Einheit angesehen, wird nur als Anwendung der Funktion ausgelegt F zu einem Streit X.

Bei der Ausarbeitung dieser letzten Idee sowie bei der Entwicklung einer axiomatischen Behandlung von a traten verschiedene Schwierigkeiten auf Identitätskriterium für Konzepte, die sie für die Analyse und Logik der Aussageneinstellungen geeignet machen würden - Glaube, Wissen und dergleichen. Church modifizierte Carnaps Begriff des Intensionsisomorphismus und schlug vor, dass zwei Sätze (oder andere komplexe Ausdrücke) denselben Satz (oder dasselbe Konzept) ausdrücken, wenn dies der Fall ist synonym isomorph - ungefähr, dass sie aus synonymen Ausdrücken bestehen, die in derselben Reihenfolge angeordnet sind. Die Entwicklung von Axiomen für die Logik von Sinn und Bezeichnung, die diese Idee nahe legt, nennt die Kirche "Alternative (0)". Die Kirche war nicht in der Lage, eine angemessene Formalisierung dieser wichtigen Konzeption durchzuführen.

[VORLÄUFIGE VOLLAUTOMATISCHE TEXTÜBERSETZUNG - muss noch überarbeitet werden. Wir bitten um Ihr Verständnis.] Ayer, Alfred Jules; Brouwer, Luitzen Egbertus Jan; Carnap, Rudolf; Berechenbarkeitstheorie; Logik erster Ordnung; Frege, Gottlob; Goodman, Nelson; Logik, Geschichte von; Mathematik, Grundlagen von; Bedeutung; Realismus; Turing, Alan M.

Literaturverzeichnis

Primärarbeiten

"Eine Formulierung der Logik von Sinn und Bezeichnung." Im Struktur, Methode und Bedeutung: Essays zu Ehren von Henry M. Sheffer, herausgegeben von Paul Henle. New York: Liberal Arts Press, 1951.

"Logik und Analyse." Tagungsband des XII. Internationalen Kongresses für Philosophie Venedig, 12.-18. September 1958.

"Über Carnaps Analyse von Aussagen über Behauptung und Glauben." Analyse 10 (1950): 97 – 99.

"Umriss einer überarbeiteten Formulierung der Logik von Sinn und Bezeichnung", pt. 1. Nachrichten 7 (1973): 24 – 33.

"Überblick über eine überarbeitete Formulierung der Logik von Sinn und Bezeichnung", Punkt 2. Nachrichten 8 (1974): 135 – 156.

"Sätze und Sätze." Im Das Problem der Universalien - Ein Symposium1–12. Notre Dame, IN: Universität Notre Dame Press 1956.

Nebenarbeiten

Anderson, C. Anthony. "Die Beiträge der Alonzo-Kirche zur Philosophie und zur Intensivlogik." Das Bulletin der symbolischen Logik 4 (1998): 129 – 171.

C. Anthony Anderson (2005)