Craig’s Theorem

In der mathematischen Logik besagt der Satz von Craig - nicht zu verwechseln mit dem Interpolationssatz von Craig -, dass jede rekursiv aufzählbare Theorie rekursiv axiomatisierbar ist. Sein erkenntnistheoretisches Interesse liegt in seiner möglichen Verwendung als Methode zur Eliminierung "theoretischer Inhalte" aus wissenschaftlichen Theorien.

Beweis von Craigs Theorem

Annehmen, dass S ist eine deduktiv geschlossene Menge von Sätzen, deren Elemente auf diese Weise rekursiv aufgezählt werden können F (0) F (1),…, F (n ), … wo F ist eine rekursive Funktion von natürlichen Zahlen zu Sätzen (wir nehmen an, dass Ausdrücke, Sätze usw. auf irgendeine Weise Gödel-codiert wurden). Die Menge der Theoreme einer axiomatischen Theorie ist automatisch rekursiv aufzählbar. Im Allgemeinen ist eine rekursiv aufzählbare Menge jedoch nicht automatisch rekursiv. Ein Beispiel für eine rekursiv aufzählbare Menge, die nicht rekursiv ist, ist die Menge der logischen Wahrheiten in einer Sprache erster Ordnung mit einem einzelnen dyadischen Prädikat. Dies folgt aus dem Satz der Kirche, der besagt, dass der allgemeine Begriff der Gültigkeit erster Ordnung unentscheidbar ist. Durch einen von Craig entwickelten Trick können wir jedoch eine rekursive Menge definieren, die Craig (S ) deren deduktiver Abschluss ist S. Lassen A sei ein Satz und n eine natürliche Zahl. Lassen An sei der (n +1) -fache Konjunktion A ∧… ∧ A. Der Satz A n ist logisch interdeduzierbar mit A. Betrachten Sie als nächstes Sätze der Form F (n )n. Definiere Craig (S ) sein {F (n )n : nN }. Die deduktive Schließung von Craig (S ) muss sein S, da jedes Element von Craig (S ) entspricht einem Element von S. Als nächstes geben wir ein informelles Entscheidungsverfahren für die Mitgliedschaft in Craig (S ). Einen Satz gegeben A, um zu entscheiden, ob A ∈ Craig (S ), überprüfen Sie zuerst, ob A hat die Form Bnfür einen Satz B und Nummer n. Durch eindeutige Lesbarkeit ist dies überprüfbar, und wenn A ist dann nicht von dieser Form A ∉ Craig (S ). Nehmen wir das an A ist von der Form Bn. Wir berechnen F (n ), und wenn B ist in der Tat F (n ) dann A ∈ Craig (S ). Und ansonsten A ∉ Craig (S ). Das Bestehen eines Entscheidungsverfahrens für die Mitgliedschaft in Craig (S ) impliziert, dass Craig (S ) ist rekursiv. Das Set Craig (S ) ist daher eine rekursive Axiomatisierung der Theorie S.

Craigian Eliminierung

Die logischen Positivisten vertraten die Auffassung, dass eine wissenschaftliche Theorie bei einer logischen Rekonstruktion ein in einer Sprache formuliertes Axiomensystem ist L (O, T. ), in denen extralogische Prädikate und Funktionssymbole als solche klassifiziert werden O -Termme für Beobachtungseigenschaften oder T -Terms für theoretische Eigenschaften. Aussagen in L (O, T. ) können je nach Vorhandensein oder Nichtvorhandensein von als beobachtend, theoretisch oder gemischt klassifiziert werden O -terms oder T -terms. Das Löschen theoretischer Begriffe ergibt eine Subsprache L (O ) deren Sätze Beobachtungs- oder empirische Behauptungen über die Welt ausdrücken. Angenommen, die Eigenschaft, ein zu sein L (O ) -Satz ist rekursiv. Betrachten Sie eine rekursiv aufzählbare Theorie S in L (O, T. ). Der empirische Inhalt von S ist die Menge von L (O ) -Sätze von S. Dies ist eine Untertheorie von S erhalten durch eine Einschränkung einer rekursiven Eigenschaft. Es ist also auch rekursiv aufzählbar. Nach dem Satz von Craig gibt es eine rekursive Menge von L (O ) -Sätze, deren deduktiver Abschluss der empirische Inhalt von ist S. Nach diesen Annahmen können wir daher den empirischen Inhalt einer bestimmten wissenschaftlichen Theorie rekursiv axiomatisieren S, Erhalten eines rekursiven Axiomensystems Craig (S ), bekannt als die Craigsche Reaxiomatisierung von S empirischer Inhalt.

Philosophische Bedeutung der Craigian-Eliminierung

Instrumentalismus oder Positivismus über die Wissenschaft beinhaltet eine Skepsis gegenüber dem nicht beobachtenden Inhalt einer wissenschaftlichen Theorie. Fehlt ein solcher Inhalt der Craigian Reaxiomatization Craig (S ) liefert ein Objekt rationalen Glaubens, das mit instrumentalistischen oder positivistischen Skrupeln vereinbar ist. Beachten Sie, dass diese Eliminierungsmethode nicht auf einer Unterscheidung zwischen Beobachtung und Theorie beruhen muss. Mit offensichtlichen Modifikationen kann es verwendet werden, um beispielsweise den mathematischen Inhalt aus einer wissenschaftlichen Theorie zu eliminieren, die unter Verwendung mathematischer Prädikate und Quantifizierung über Mengen, Funktionen usw. formuliert wurde, oder um theoretischen Inhalt aus einer psychologischen Theorie zu eliminieren das bezieht sich auf mentale Zustände und so weiter. Die Craigian-Reaxiomatisierung bietet eine mögliche Eliminierungsstrategie für eine Vielzahl instrumentalistischer Positionen.

Kritik an der Beseitigung von Craigian

Von den oben genannten gibt es zwei methodische Kritikpunkte. Erstens, auch wenn die ursprüngliche Theorie S wird auf einfache Weise die Reaxiomatisierung Craig (S ) wird komplex sein und somit den Kanon von verletzen Einfachheit was wir zulässigen Theorien auferlegen könnten. Zweiter Craig (S ) ist parasitär auf die ursprüngliche Theorie S und steht so nicht wirklich allein von der ursprünglichen Theorie. In der Tat Craig (S ) ist eine bizarre Theorie mit unendlich vielen Axiomen der Form An, Wobei A ist eine empirische Folge von S. Hartry Field bezeichnet die Craigian-Reaxiomatisierung als "bizarren Trick" und beschwert sich darüber, dass Craig (S ) ist "offensichtlich uninteressant, da [es] nichts dazu beiträgt, das fragliche Phänomen anhand einer kleinen Anzahl von Grundprinzipien zu erklären" (Field 1980, S. 8). Ein dritter Kritikpunkt ist, dass die Eliminierung von Craigian auf einer falschen Auffassung wissenschaftlicher Theorien beruht, nämlich a syntaktische Ansicht von Theorien. Diese Kritik wurde von Bas van Fraassen angeregt, der schreibt: "Empirische Bedeutung kann nicht syntaktisch isoliert werden ... die reduzierte Theorie [Craig (S )] ist keine Beschreibung des beobachtbaren Teils der Welt von S ;; Vielmehr handelt es sich um eine humpelnde und behinderte Version von S 's Beschreibung von allem "(van Fraassen 1976, S. 87–88). Eine abschließende Kritik greift die Haltbarkeit der erforderlichen Unterscheidung zwischen Beobachtung und Theorie an. Ein einfaches Beispiel hierfür ist, dass wir, obwohl" rot "ein paradigmatischer Beobachtungsbegriff zu sein scheint kann dennoch von roten Blutkörperchen sprechen, die zu klein sind, um mit bloßem Auge sichtbar zu sein (siehe Putnam 1962).

In Bezug auf bestimmte Annahmen, die oben in Bezug auf den Begriff des "empirischen Inhalts" diskutiert wurden, sagt uns der Satz von Craig, dass wir den empirischen Inhalt einer wissenschaftlichen Theorie reaxiomatisieren können, wodurch der offensichtliche Bezug zu nicht beobachtbaren Objekten und Eigenschaften beseitigt wird. Dieses Eliminierungsverfahren hat jedoch nicht viele Anhänger gefunden, und es scheint sicher zu sein, dass die Bedeutung der Eliminierung durch Craigian in erster Linie pädagogisch ist.

[VORLÄUFIGE VOLLAUTOMATISCHE TEXTÜBERSETZUNG - muss noch überarbeitet werden. Wir bitten um Ihr Verständnis.] Field, Hartry.

Literaturverzeichnis

Craig, William. "Zur Axiomatisierbarkeit innerhalb eines Systems." Zeitschrift für symbolische Logik 18 (1953): 30 – 32.

Field, Hartry. Wissenschaft ohne Zahlen. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1980.

Putnam, Hilary "Was Theorien nicht sind." Im Logik, Methodik und Wissenschaftstheorie, herausgegeben von Ernest Nagel, Patrick Suppes und Alfred Tarski. Stanford University Press, 1962. Nachdruck in Hilary Putnam Mathematik, Materie und Methode: Philosophische ArbeitenVol. 1, Cambridge University Press, 1979.

van Fraassen, BC "Um die Phänomene zu retten." Zeitschrift für Philosophie 73 (1976): 623–632 (Seitenverweise auf den Nachdruck in David Papineau, hrsg. Philosophie der Wissenschaft. New York: Oxford University Press, 1996).

Jeffrey Ketland (2005)