Modelltheorie: Robinson

Abraham Robinson (1918–1974) war Logiker und Mathematiker. Er wurde in Waldenburg (Schlesien) geboren und zog 1933 nach Palästina, wo er Mathematik an der Hebräischen Universität in Jerusalem studierte und sich auch der Haganah anschloss. 1940 floh er als Kriegsflüchtling nach Großbritannien und trat bei der Freien Französischen Luftwaffe ein. Er promovierte 1949 in London und unterrichtete Aerodynamik am Cranfield College of Aeronautics. Er bekleidete nacheinander Posten in Toronto, Jerusalem, Los Angeles und schließlich in Yale, wo er an Krebs starb. Sein ereignisreiches Leben wird von Joseph W. Dauben (1995) beschrieben.

Robinsons Doktorarbeit über Anwendungen der Logik in der Mathematik führte 1950 zu einer Einladung, auf dem Internationalen Mathematikerkongress zu sprechen. Die Gespräche von Robinson und Alfred Tarski auf diesem Kongress wurden zu Gründungsdokumenten der neuen Disziplin, die Tarski Modelltheorie nannte. Während seiner Karriere war Robinson einer der fruchtbarsten Mitwirkenden an Programmen, Techniken und Ergebnissen zur Modelltheorie.

Robinsons These enthält seine unabhängige Entdeckung des Kompaktheitssatzes für Sprachen erster Ordnung jeglicher Kardinalität. Im Beweis führte er konstante Symbole ein, um für die Elemente des zu konstruierenden Modells zu stehen. Er bemerkte, dass, wenn diese konstanten Symbole den Elementen einer gegebenen Struktur entsprachen Aund die Theorie enthielt Sätze, die alle Beziehungen der Struktur ausdrücken Adann würde jedes Modell der Theorie eine isomorphe Kopie von enthalten A. Diese Beobachtung wurde zur Methode der Diagramme, die Robinson systematisch verwendete, um Modelle einer Theorie mit vorgeschriebenen Einbettungen zwischen ihnen zu erstellen. Diagramme wurden sofort zu einer der grundlegenden Techniken der Modelltheorie (für viele Anwendungen siehe Robinson 1963).

Robinson wechselte mit außerordentlicher Leichtigkeit von einem Zweig der Mathematik zu einem anderen. Es gab bestimmte Themen, zu denen er aus verschiedenen Blickwinkeln zurückkehrte. Zwei davon waren insbesondere elementare Einbettungen und algebraisch geschlossene Felder. Bei der Kombination der beiden stellte er fest, dass jede Einbettung zwischen algebraisch geschlossenen Feldern elementar ist. Er hat den Begriff geprägt Modell komplett für Theorien, deren Modelle diese Eigenschaft haben, und entwickelte Tests, um zu zeigen, wann eine Theorie modellvollständig ist.

Er beobachtete die Rolle algebraisch geschlossener Felder in der Feldtheorie und suchte nach analogen Strukturen in anderen Klassen. Modellvervollständigungen, Modellbegleiter, Begleiter mit unendlichem Antrieb und Begleiter mit endlichem Antrieb waren Begriffe, die er zu verschiedenen Zeiten als Verallgemeinerungen des algebraischen Abschlusses vorschlug. Er identifizierte die Klassen von real geschlossenen Feldern und differentiell geschlossenen Feldern als Modellvervollständigungen der geordneten Felder bzw. der Differentialfelder und axiomatisierte die Klasse von differentiell geschlossenen Feldern (obwohl die üblichen Axiome aufgrund von Lenore Blum eine verbesserte Version sind). . 1965 spielte der Begriff der Modellvervollständigung eine zentrale Rolle in den Beweisen von James Axe und Simon Kochen sowie unabhängig von Yuri Ershov für eine zahlentheoretische Vermutung von Emil Artin.

Um 1960 bemerkte er, dass jede richtige elementare Erweiterung des Feldes der reellen Zahlen Infinitesimale enthält. Er entwickelte diese Einsicht schnell zu einem leistungsstarken und intuitiv natürlichen Ansatz für die mathematische Analyse, den er als nicht standardisierte Analyse bezeichnete. Die nicht standardisierte Analyse ist eine der wenigen Neuerungen in der Logik, die ausschließlich von einer einzelnen Person durchgeführt wurden.

Kurz vor seinem Tod arbeitete Robinson mit dem Zahlentheoretiker Peter Roquette zusammen, um modelltheoretische Methoden in der Zahlentheorie anzuwenden. Diese Arbeit gab einen ersten Hinweis auf die tiefen Wechselwirkungen zwischen Modelltheorie und diophantinischer Geometrie, die in den 1990er Jahren ans Licht kamen, leider zu spät, als dass Robinson dazu beitragen könnte. Tatsächlich starb Robinson, bevor er die von Michael Morley und Saharon Shelah entwickelte Stabilitätstheorie aufgreifen konnte, obwohl seine Schüler Greg Cherlin und Carol Wood zu diesem Bereich beigetragen hatten und Robinsons lebenslangen Eifer mit sich brachten, die Modelltheorie auf die Algebra anzuwenden , algebraische Geometrie und Mathematik im Allgemeinen.

Obwohl er nicht in der Lage war, an irgendeine Existenz für unendliche Gesamtheiten zu glauben, verteidigte er nachdrücklich das Recht der Mathematiker, so vorzugehen, als ob solche Gesamtheiten existieren. Seine Diskussion (Robinson 1965) über mathematische und erkenntnistheoretische Überlegungen, die die eine oder andere der traditionellen Ansichten in der Philosophie der Mathematik begünstigen, ist nachdenklich, scheint aber keine gründlich ausgearbeitete Position aufzudecken. Seine anti-platonistische Haltung hat ihm möglicherweise geholfen, eine nicht standardisierte Analyse zu erstellen, indem er sich entspannt über die "realen" reellen Zahlen entspannen konnte.

Bei Robinson Ausgewählte Artikel (1979) listet die Bibliographie zehn Bücher, mehr als hundert Artikel und einen Film auf. Jeder siebte seiner Artikel befasst sich mit Flügeltheorie und Luftfahrt.

[VORLÄUFIGE VOLLAUTOMATISCHE TEXTÜBERSETZUNG - muss noch überarbeitet werden. Wir bitten um Ihr Verständnis.] Infinitesimale; Modelltheorie; Tarski, Alfred.

Literaturverzeichnis

Dauben, Joseph W. Abraham Robinson: Die Schaffung einer nicht standardmäßigen Analyse - eine persönliche und mathematische Odyssee. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1995.

Robinson, Abraham. "Formalismus 64." Im Tagungsband des Internationalen Kongresses für Logik, Methodik und Wissenschaftstheorie, Jerusalem 1964, herausgegeben von Y. Bar-Hillel, 228–246. Amsterdam, Niederlande: Nordholland, 1965.

Robinson, Abraham. Einführung in die Modelltheorie und in die Metamathematik der Algebra. Amsterdam, Niederlande: Nordholland, 1963.

Robinson, Abraham. Ausgewählte Artikel. 3 Bände, herausgegeben von HJ Keisler et al. Amsterdam, Niederlande: Nordholland, 1979.

Wilfrid Hodges (2005)